{"id":40351,"date":"2019-10-21T16:31:11","date_gmt":"2019-10-21T14:31:11","guid":{"rendered":"https:\/\/www.h-its.org\/de\/?post_type=hits-project&p=40351"},"modified":"2019-10-22T16:36:53","modified_gmt":"2019-10-22T14:36:53","slug":"projective-geometry-transformations-of-three-flags-deutsch","status":"publish","type":"hits-project","link":"https:\/\/www.h-its.org\/de\/projects\/projective-geometry-transformations-of-three-flags-deutsch\/","title":{"rendered":"Projektive Geometrie: Transformationen von drei Fahnen"},"content":{"rendered":"\n

Fahnen bestehen aus einer Geraden und einem Punkt, der auf der Geraden liegt. Es gibt verschiedene Transformationen von Fahnen, wie z.B. den Eruptionsfluss. Hier zeigen wir verschiedene Visualisierungen dieser Transformationen.<\/p>\n\n\n\n

Was sind Fahnen?<\/h2>\n\n\n\n

Sei \\mathbb{RP}^2<\/span> die reelle projektive Ebene. Eine Fahne<\/em> ist ein Tupel (p, l)<\/span>, das aus einem Punkt p<\/span> in \\mathbb{RP}^2<\/span> und einer projektiven Gerade l<\/span> besteht, die diesen Punkt enth\u00e4lt. Zumeist werden wir einen Spezialfall betrachten, n\u00e4mlich positive<\/em> Tupel von Fahnen. In der Tat ergeben viele geometrische Betrachtungen nur in diesem Fall Sinn. Wir bezeichnen die Menge positiver n<\/span>-Tupel von Fahnen als \\mathcal{F}^n_+<\/span>.<\/p>\n\n\n\n

Die Wirkung der projektiven linearen Gruppe \\mathbf{PGL}(3,\\mathbb{R})<\/span> auf \\mathbb{RP}^2<\/span> l\u00e4sst sich zu einer Wirkung auf \\mathcal{F}^n_+<\/span> einschr\u00e4nken.<\/p>\n\n\n\n

Visualisierungen der projektiven Ebene<\/h2>\n\n\n\n

Die projektive Ebene \\mathbb{RP}^2<\/span> ist ein abstraktes mathematisches Objekt, dass sich auf verschiedene, zueinander \u00e4quivalente Arten definieren l\u00e4sst. Wie visualisieren wir diesen Raum?<\/p>\n\n\n\n

Definiere die projektive Ebene als Menge aller Ursprungsgeraden im \\R^3<\/span>. Wir k\u00f6nnen einen gro\u00dfen Teil dieses Raums visualisieren, indem wir die Geraden auf eine Ebene projizieren: W\u00e4hle eine Ebene mit Abstand 1 zum Ursprung. Jede Gerade, die diese Ebene schneidet wird von ihrem Schnittpunkt mit der Ebene repr\u00e4sentiert, sodass wir eine zweidimensionale Darstellung eines St\u00fccks des \\mathbb{RP}^2<\/span> erhalten. Die Geraden, die sich nicht mit der Ebene schneiden, entsprechen den ber\u00fcchtigten „Punkten im Unendlichen“.<\/p>\n\n\n\n

Transformationen von Fahnentripeln<\/h2>\n\n\n\n

Definition des Eruptionsflusses<\/h3>\n\n\n\n

Der Eruptionsfluss<\/em> (engl. eruption flow<\/em>) ist ein Fluss auf positiven Tripeln von Fahnen, der nicht von der Wirkung der \\mathbf{PGL}(3,\\mathbb{R})<\/span> induziert wird. Nichtsdestotrotz kommutiert er mit der Wirkung und induziert daher auch einen Fluss auf dem Orbitraum. Wir definieren ihn wie folgt.<\/p>\n\n\n\n

Sei (p_i,l_i)_{i=1,2,3}\\in\\mathcal{F}^3_+<\/span> ein Tripel von Fahnen. Ein solches ist \u00e4quivalent zu einem Paar von ineinander verschachtelten Dreiecken \\Delta=(p_1, p_2, p_3)<\/span> und \\Delta'=(q_1, q_2, q_3)<\/span>. Dies kann man gut in der folgenden Abbildung erkennen. Diese Aufteilung induziert drei Vierecke Q_1, Q_2<\/span> und Q_3<\/span>.<\/p>\n\n\n\n

\"\"
Zerlegung zweier verschachtelter Dreiecke in elementare Teile<\/em>
<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n

Der Fluss wird nun definiert, indem wir jedes Viereck Q_i<\/span> mit einem anderen Element von \\mathbf{PGL}(3,\\mathbb{R})<\/span> verformen, n\u00e4mlich mit <\/p>\n\n\n\n g_1(t) =\\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\\\0 & e^{\\tfrac{t}{3}} & 0\\\\0 & 0 & e^{-\\tfrac{t}{3}} \\\\ \\end{pmatrix}, \\quad g_2(t) = \\begin{pmatrix} e^{-\\tfrac{t}{3}} & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & e^{\\tfrac{t}{3}}\\\\ \\end{pmatrix},<\/span>\n\n\n\n\\quad g_3(t) =\\begin{pmatrix}e^{\\tfrac{t}{3}} & 0 & 0\\\\ 0 & e^{-\\tfrac{t}{3}} & 0\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ \\end{pmatrix}<\/span>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

wobei alle Matrizen in einer Basis geschrieben wird, die von Repr\u00e4sentanten der q_1, q_2<\/span> und q_3<\/span> definiert wird. In der Tat l\u00e4sst diese Transformation die Punkte q_i<\/span> invariant. Die transformierten Punkte p_i(t)<\/span> bleiben auf den Linien l_i<\/span>. Dadurch liefert die Transformation ein paar verschachtelter Dreiecke \\Delta(t),\\Delta'(t)<\/span>, das gleichbedeutend mit einem Tripel von Fahnen ist, wie man oben sehen kann.<\/p>\n\n\n\n

Visualisierungen des Eruptionsflusses<\/h3>\n\n\n\n

3D-Druck des ausbrechenden Vulkans<\/h4>\n\n\n\n

In diesem 3D-gedruckten Modell stellt die Modellh\u00f6he das Fortschreiten von t<\/span> dar, wohingegen jeder horizontaler Querschnitt (in Gr\u00fcn) das transformierte innere Dreieck T(t)<\/span> der oben sichtbaren Zerlegung darstellt. Das graue Basisdreieck ist schlichtweg \\Delta'<\/span>.<\/p>\n\n\n\n

\"\"

3D-Modell des Eruptionsflusses<\/em><\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Verschiedene Fixpunkte des Eruptionsflusses<\/h4>\n\n\n\n

Je nachdem, wie wir die Matrizen g_i(t)<\/span> anwenden, kann der Eruptionsfluss verschiedene Fixpunkte haben. Wenn wir die Punkte q_i<\/span> als Basis f\u00fcr die Matrixdarstellung w\u00e4hlen, werden genau diese Punkte unter der Transformation invariant bleiben. Wenn wir jedoch die Punkte p_i<\/span> w\u00e4hlen, werden diese zu Fixpunkten, und die q_i<\/span> bewegen sich. Man kann diesen Unterschied in den Filmen sehen. Der Unterschied ist jedoch kein besonders gro\u00dfer, da sich beide Transformation nur durch ein von t<\/span> abh\u00e4ngiges Element von \\mathbf{PGL}(3,\\mathbb{R})<\/span> unterscheiden.<\/p>\n\n\n\n

Das rote Dreieck ist das, das von den u_i<\/span> aufgespannt wird, das blaue wird von den p_i<\/span> aufgespannt, und das schwarze von den q_i<\/span>. Die Zeit repr\u00e4sentiert den Transformationsparameter t<\/span>.<\/p>\n\n\n\n