{"id":40352,"date":"2019-10-21T17:27:48","date_gmt":"2019-10-21T15:27:48","guid":{"rendered":"https:\/\/www.h-its.org\/de\/?post_type=hits-project&p=40352"},"modified":"2019-10-22T16:41:26","modified_gmt":"2019-10-22T14:41:26","slug":"projective-geometry-transformations-of-four-flags-deutsch","status":"publish","type":"hits-project","link":"https:\/\/www.h-its.org\/de\/projects\/projective-geometry-transformations-of-four-flags-deutsch\/","title":{"rendered":"Projektive Geometrie: Transformationen von vier Fahnen"},"content":{"rendered":"\n

Was ist eine Fahne?<\/h2>\n\n\n\n

Eine Fahne<\/em> besteht aus einer Geraden und einem Punkt, der auf dieser Geraden liegt. Wir betrachten Fahnen im zweidimensionalen reellen projektiven Raum<\/em>. Dies ist eine zweidimensionale Ebene, zu der wir aber alle Punkte im Unendlichen „hinzuf\u00fcgen“. Das hei\u00dft, dass wir f\u00fcr jede Menge an parallelen Geraden einen Punkt im Unendlichen hinzuf\u00fcgen, an dem sich die Parallelen schneiden. Wenn wir nun einen bestimmten Teil dieses Raums ausw\u00e4hlen, k\u00f6nnen wir diesen visualisieren, f\u00fcr Details siehe hier<\/a>. Wir werden verschiedene Transformationen von vier Fahnen betrachten, n\u00e4mlich den Beulfluss, den Scherfluss und den Eruptionsfluss.<\/p>\n\n\n\n

Transformationen von vier Fahnen<\/h2>\n\n\n\n

Der Beulfluss<\/em> (engl. bulge flow<\/em>) und der Scherfluss<\/em> (engl. shear flow<\/em>) sind Fl\u00fcsse auf Tupeln von vier Fahnen.<\/p>\n\n\n\n

Betrachte also ein positives Tupel (p_i,l_i)_{i=1,\\ldots, 4}\\in\\mathcal{F}^4_+<\/span> von vier Fahnen. Deren Schnittpunkte spannen ein Viereck auf. \u00c4hnlich wie beim Eruptionsfluss auf drei Fahnen<\/a> wird dieses Viereck in verschiedene Bereiche aufgeteilt, auf die wir jeweils eine Matrix anwenden.<\/p>\n\n\n\n

Konvexe Mengen<\/h2>\n\n\n\n

Tats\u00e4chlich definiert ein Tupel aus vier Fahnen zwei ineinander verschachtelte Vierecke: Das \u00e4u\u00dfere Viereck wird von den Schnittpunkten q_i<\/span> der Geraden aufgespannt, das innere Viereck wird von den p_i<\/span> aufgespannt. Wir k\u00f6nnen aus dem inneren Viereck eine konvexe Menge konstruieren, indem wir es entlang seiner Seiten reflektieren. Dieses Verfahren wird unendlich oft wiederholt. Die Reflexion, die gemeint ist, ist eine besondere projektive Reflexion: Stellen Sie sich vor, Sie st\u00fcnden auf Eisenbahngleisen und s\u00e4hen einen Punkt v<\/span> am Horizont, an dem sich die parallelen Gleise treffen. Wenn Sie nun ein auf dem Boden liegendes Viereck entlang einer seiner Seiten l<\/span> reflektieren, sieht es anders aus als sein blo\u00dfes Spiegelbild. Dies liegt an der Perspektive. Als mathematische Formel schreiben wir diese projektive Reflexion als<\/p>\n\n\n\nR(x) = x - l(x)v,<\/span>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

wobei l(\\cdot)<\/span> die Linearform ist, die die projektive Gerade l<\/span> definiert.<\/p>\n\n\n\n

Siehe weiter unten f\u00fcr ein Bild dieser konvexen Menge.<\/p>\n\n\n\n

Visualisierungen der verschiedenen Fl\u00fcsse<\/h2>\n\n\n\n

Der Beulfluss<\/h3>\n\n\n\n

In diesem Film sehen wir, woher der Name Beulfluss kommt. Je nach Wahl des Parameters beult sich das urspr\u00fcngliche Viereck immer weiter nach links oder rechts aus.<\/p>\n\n\n\n

Beulfluss auf einem Viertupel von Fahnen.<\/em><\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Der Scherfluss<\/h3>\n\n\n\n

In diesem Film sehen wir, wieso der Scherfluss so hei\u00dft. Der linke und rechte Punkt werden verdreht, als ob sie eine Scherkraft erfahren w\u00fcrden. Beachten Sie auch eine weitere interessante Eigenschaft des Scherflusses. W\u00e4hrend die zwei mittleren Punkte fest bleiben, bewegen sich der linke und der rechte Punkt zu jeder Zeit auf Ellipsensegmenten.<\/p>\n\n\n\n

Scherfluss auf einem Viertupel von Fahnen.<\/em><\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Die konvexe Menge unter Einfluss des Eruptionsflusses<\/h3>\n\n\n\n

Wir zuvor erkl\u00e4rt, k\u00f6nnen wir eine konvexe Menge aus einem positiven Tupel von Fahnen konstruieren, indem wir das Polygon entlang seiner Seiten reflektieren. Wenn wir das Polygon nun in mehrere Dreiecke unterteilen, k\u00f6nnen wir jedes Dreieck mit dem Eruptionsfluss transformieren, und beobachten, was dabei mit der konvexen Menge passiert. Diese Unterteilung in Dreiecke wird im Bild durch blaue Linien dargestellt.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Wir haben nun verschiedene M\u00f6glichkeiten, den Eruptionsfluss anzuwenden. Wir k\u00f6nnten ein Dreieck mit einem positiven Parameter t<\/span> transformieren, und das andere mit einem negativen Parameter {-t}<\/span>. Stattdessen k\u00f6nnten wir aber auch beide mit einem positiven Parameter t<\/span> und abermals t<\/span> transformieren.<\/p>\n\n\n\n

Das Ergebnis sieht recht unterschiedlich aus, betrachte<\/p>\n\n\n\n