{"id":40362,"date":"2019-10-22T18:19:19","date_gmt":"2019-10-22T16:19:19","guid":{"rendered":"https:\/\/www.h-its.org\/de\/?post_type=hits-project&#038;p=40362"},"modified":"2019-10-22T18:26:24","modified_gmt":"2019-10-22T16:26:24","slug":"comparing-hyperbolic-and-euclidean-geometry-deutsch","status":"publish","type":"hits-project","link":"https:\/\/www.h-its.org\/de\/projects\/comparing-hyperbolic-and-euclidean-geometry-deutsch\/","title":{"rendered":"Hyperbolische und euklidische Geometrie vergleichen"},"content":{"rendered":"\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Parkettierungen der hyperbolischen und der euklidischen Ebene<\/h2>\n\n\n\n<p>Hyperbolische und euklidische Geometrie haben einen recht individuellen Geschmack. Sie unterscheiden sich deutlich voneinander. Man kann das gut erkennen, indem man <em>Parkettierungen<\/em>, oder <em>Kachelungen<\/em>, dieser beiden Geometrien vergleicht. Betrachte also eine Parkettierung der euklidischen Ebene mit Quadraten, und eine Parkettierung der hyperbolischen Ebene mit idealen Dreiecken. Wir zeichnen dann einen Graphen, der bildhaft macht, welche Kacheln aneinander grenzen. Im Falle der euklidischen Geometrie handelt es sich um ein schlichtes Gitter. Im Falle der hyperbolischen Geometrie wird es jedoch ein Baum, der sich in jeder Richtung unendlich fein ver\u00e4stelt.<\/p>\n\n\n\n<p>Wir haben das Poincar\u00e9sche Scheibenmodell verwendet, um die hyperbolische Ebene zu visualisieren.<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-gallery columns-2 is-cropped wp-block-gallery-1 is-layout-flex wp-block-gallery-is-layout-flex\"><li class=\"blocks-gallery-item\"><figure><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.h-its.org\/wp-content\/uploads\/2019\/10\/tiling_euclid.png\" alt=\"\" data-id=\"40859\" data-link=\"https:\/\/www.h-its.org\/?attachment_id=40859\" class=\"wp-image-40859\" \/><figcaption>Kachelung der euklidischen Ebene mit Quadraten.<\/figcaption><\/figure><\/li><li class=\"blocks-gallery-item\"><figure><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.h-its.org\/wp-content\/uploads\/2019\/10\/tiling_graph_euclid.png\" alt=\"\" data-id=\"40860\" data-link=\"https:\/\/www.h-its.org\/?attachment_id=40860\" class=\"wp-image-40860\" \/><figcaption>Graph (in Rot), der die aneinander grenzenden Kacheln visualisiert.<\/figcaption><\/figure><\/li><\/ul>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-gallery columns-2 is-cropped wp-block-gallery-2 is-layout-flex wp-block-gallery-is-layout-flex\"><li class=\"blocks-gallery-item\"><figure><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.h-its.org\/wp-content\/uploads\/2019\/10\/tiling_hyperbolic.png\" alt=\"Tiling of the hyperbolic plane with ideal triangles\" data-id=\"40862\" data-link=\"https:\/\/www.h-its.org\/?attachment_id=40862\" class=\"wp-image-40862\" \/><figcaption>Kachelung der hyperbolischen Ebene mit idealen Dreiecken.<\/figcaption><\/figure><\/li><li class=\"blocks-gallery-item\"><figure><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.h-its.org\/wp-content\/uploads\/2019\/10\/tiling_graph_hyperbolic.png\" alt=\"\" data-id=\"40861\" data-link=\"https:\/\/www.h-its.org\/?attachment_id=40861\" class=\"wp-image-40861\" \/><figcaption>Graph (in Rot), der die aneinander grenzenden Kacheln visualisiert.<\/figcaption><\/figure><\/li><\/ul>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Der approximierende Graph in der hyperbolischen Ebene<\/h2>\n\n\n\n<p>W\u00e4hlen Sie eine endliche Menge von Punkten in der hyperbolischen Ebene, quasi eine &#8222;Punktewolke&#8220;. Der &#8222;k\u00fcrzeste Weg&#8220;, oder korrekter eine <em>Geod\u00e4te<\/em> zwischen zwei dieser Punkte ist im Poincar\u00e9schen Scheibenmodell ein Kreissegment. Wenn wir jedes beliebige Paar von Punkten mit der jeweiligen Geod\u00e4te verbinden, erhalten wir ein ziemliches Netz aus Linien. Erfreulicherweise k\u00f6nnen wir dieses Netz durch einen <em>approximierenden Graphen<\/em> vereinfachen: Es gibt einen Graphen, dessen Kanten Geod\u00e4ten sind, und dessen Knoten alle Punkte unserer Punktewolke enthalten. Das besondere ist, dass es nicht &#8222;wesentlich l\u00e4nger&#8220; ist, entlang der Kanten des Graphen von einem Punkt zum anderen zu gehen als auf dem direkten Weg. Die Distanz unterscheidet sich um einen Fehler, der nur von der Anzahl der Punkte <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span> abh\u00e4ngt:<\/p>\n\n\n\n<span class=\"wp-block-katex-display-block katex-eq\" data-katex-display=\"true\">d_\\mathrm{tree}(x, y) \\leq d(x,y) + f(n).<\/span>\n\n\n\n<p>F\u00fcr die Konstruktion des Graphen haben wir einen sehr einfachen Algorithmus verwendet: Die erste Kante ist einfach die Geod\u00e4te, die die ersten beiden Punkte verbindet. Danach w\u00e4hlen wir immer einen Punkt in der Wolke, der noch nicht mit dem Graphen verbunden ist. Wir suchen den Punkt auf dem Graphen, der dem gew\u00e4hlten Punkt am n\u00e4chsten ist. Dann f\u00fcgen wir die Kante zwischen den beiden Punkten hinzu. Das Ergebnis kann man unten sehen.<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-gallery columns-2 is-cropped wp-block-gallery-3 is-layout-flex wp-block-gallery-is-layout-flex\"><li class=\"blocks-gallery-item\"><figure><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.h-its.org\/wp-content\/uploads\/2019\/10\/approx_point_cloud.png\" alt=\"\" data-id=\"40863\" data-link=\"https:\/\/www.h-its.org\/?attachment_id=40863\" class=\"wp-image-40863\" \/><figcaption>Eine Punktewolke in der hyperbolischen Ebene.<\/figcaption><\/figure><\/li><li class=\"blocks-gallery-item\"><figure><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.h-its.org\/wp-content\/uploads\/2019\/10\/approx_with_all.png\" alt=\"\" data-id=\"40864\" data-link=\"https:\/\/www.h-its.org\/?attachment_id=40864\" class=\"wp-image-40864\" \/><figcaption>Alle Geod\u00e4ten, die Paare von Punkten verbinden, und der approximieren Graph zum Vergleich.<\/figcaption><\/figure><\/li><\/ul>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.h-its.org\/wp-content\/uploads\/2019\/10\/approx_with_graph.png\" alt=\"The approximating graph connecting a point cloud in the hyperbolic plane.\" class=\"wp-image-40865\" \/><figcaption><em>Der approximierende Graph einer Punktewolke.<\/em><\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Mehr Themen aus der hyperbolischen Geometrie<\/h2>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\"><li><a href=\"https:\/\/www.h-its.org\/de\/projects\/hyperbolic-polysphericons\/\">Hyperbolische Polysperikons (momentan nur engl.)<\/a><\/li><\/ul>\n","protected":false},"author":126,"featured_media":40363,"template":"","hits-research-group":[1293],"hits-project-category":[],"class_list":["post-40362","hits-project","type-hits-project","status-publish","has-post-thumbnail","hentry","hits-research-group-grg-de"],"acf":[],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v27.6 - 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